Descomplicando a Logica Digital - A álgebra booleana

 

Descomplicando a Logica Digital – A Álgebra Booleana

 

Diferente da álgebra ordinária dos números reais, onde as variáveis podem assumir valores de (-infinito à +infinito), na álgebra booleana as variáveis só podem assumir dois valores. Desta forma, a álgebra booleana é o ramo da álgebra onde os valores das variáveis são verdadeiros ou falsos ou representados pelas notações 1 e 0 respectivamente, isto é, se é verdadeiro assume-se “1” se é falso assume-se “0”.

Na álgebra elementar, onde os valores das variáveis são números e as operações principais são a adição e a multiplicação, nas operações da álgebra booleana são a conjunção (and) em inglês, E em português, disjunção (or) em inglês, e OU em português e a negação (not) em inglês e Não em português. Portanto um simples formalismo para descrever operações logicas, da mesma forma que na álgebra elementar, descreve as operações numéricas.

A álgebra booleana tem sido fundamental no desenvolvimento da eletrônica digital e é utilizada em todas as linguagens de programação modernas. Máquinas programáveis e computadores de grande porte e pessoais utilizam esta linguagem para realizar operações e os cálculos mais complexos.

Um pouco de história...

A álgebra booleana foi introduzida por George Boole, um matemático inglês autodidata em 1847, e apresentada mais detalhadamente em 1854, em seu livro “An Investigation of the Laws of Thought”, “Uma Investigação das Leis do Pensamento”, mas o termo “Álgebra Booleana” foi sugerido pela primeira vez por Sheffer em 1913.

Em 1937, cerca de 75 anos após a morte de Boole, Claude Shannon estudante no MIT em Boston EUA, enquanto estudava circuitos comutados, estabeleceu a relação entre a álgebra de Boole e os circuitos eletrônicos utilizando os dois estados lógicos “sim” e “não”, como forma de analisar e projetar circuitos por meios algébricos em termos de portas lógicas. Shannon já tinha à sua disposição o recurso matemático abstrato, então ele usou sua álgebra de comutação como álgebra booleana de dois elementos, sendo os dois elementos “verdadeiro” ou “falso e mais tarde foi atribuído os algarismos 1 e 0 respectivamente.

Definindo operações básicas da álgebra booleana...

 Na álgebra booleana existem três operações ou funções básicas, todas as funções booleanas podem ser representadas pelas operações E, OU e negação ou inversão. Esta nomenclatura é muito utilizada em inglês AND, OR e NOT. 

Em matemática, uma operação binária é combinar dois elementos, chamados operandos, para produzir outro elemento que é o resultado da operação, tais operações binarias podem ser chamadas simplesmente de funções binarias.

Por exemplo, nas operações booleanas básicas, as variáveis X e Y são definidas da seguinte forma:

·       Função AND, ou E chamada também de conjunção, quando o produto “S” é igual a 1, quando X=1 E Y=1, quando X ou Y = 0 “S” é sempre 0.

Podemos ver na figura abaixo a função E ou AND em inglês representada com a tabela da verdade para 2 elementos X e Y, note que “S” é somente igual a “1”, quando “X” e “Y” é igual a “1”.

 

Um circuito elétrico equivalente, onde somente quando as chaves “X “e “Y” estão fechadas que temos a lâmpada acesa, quando temos apenas “X” ou “Y” fechadas não temos circulação de corrente e a lâmpada permanece apagada.

Também podemos ver a representação gráfica do símbolo eletrônico para a função AND, que é apresentado em circuitos lógicos eletrônicos.

 

          

·       Função OR, ou OU chamada também de disjunção, quando o produto “S” é igual a 0 se X=Y=0

 

Podemos ver na figura abaixo a função OU ou OR em inglês representada com a tabela da verdade para 2 elementos X e Y, note que “S” é somente igual a “0”, quando “X” e “Y” é igual a “0”.

 

Um circuito elétrico equivalente, onde quando uma das chaves “X “ou “Y” estão fechadas temos a lâmpada acesa, somente quando temos “X” e “Y” abertas, não temos circulação de corrente e a lâmpada permanece apagada.

Também podemos ver a representação gráfica do símbolo eletrônico para a função OR, que é apresentado em circuitos lógicos eletrônicos.

 

 ·       Função NOT chamada de negação, quando o produto “S” é sempre o inverso de X, se X=0 “S” =1..se X=1 “S”=0

 

Na figura abaixo a função NOT em inglês ou negação possui uma tabela da verdade com apenas uma variável, a variável “X”, que quando é “0” a saída “S” é “1”. E quando “X” é igual a “1”, a saída “S” é igual a “0”.

Quanto ao circuito equivalente que representa a função NOT ou negação ou inversão, podemos entender que quando “X” está aberto, isto é, é igual a “0”, circula corrente pela lâmpada, e lâmpada acesa é igual a ”1”. Quando a chave está fechada, igual a “1”, isto representa um curto-circuito e toda a corrente passa a circular em cima do resistor e a lâmpada apaga, sendo considerada o estado “0”.

 

  

           Estas são as 3 funções básicas da álgebra booleana, baseadas nestas 3 funções                       outras variações foram criadas e combinadas para solucionar uma serie de                              sistemas lógicos e problemas que a eletrônica digital permitiu avançar com a                          introdução da lógica binaria.

          Este artigo é uma pequena introdução a álgebra booleana, onde estou                      utilizando apenas 2 variáveis, X e Y, para abordar o assunto. Entretanto a              álgebra booleana permite um elevado número de variáveis, que em muitos              casos podem resolver casos complexos em sistemas lógicos.

          Para entender um pouco mais deste assunto estou preparando o artigo sobre                            números binários, que explicam como qualquer número decimal pode ser                                convertido num número binário, isto é, constituído de apenas uns e zeros “1” e “0”                 e como um número binário se converte em um número decimal.

          Se você que acompanhou este artigo até aqui tem dúvidas ou comentários deixe                     sua mensagem que terei muito prazer em ler e responder. Grande abraço e até o                     próximo artigo do Descomplicando a Logica Digital.

          Rio de Janeiro, 2 de outubro de 2024.